Seja
, calcule o fluxo do campo vetorial
através de
, cuja normal no ponto (
) tem a terceira componente positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície
,
orientada de modo que a normal em tenha terceira componente positiva.
O conteúdo é integração de superfície para gráfico de função .
através da superfície
orientada de modo que a normal em
O conteúdo é integração de superfície para gráfico de função
Passo 2
Parametrizamos
como gráfico de
sobre o disco
.
Assim
sobre o disco
Assim
e as derivadas parciais são
O vetor normal orientado para cima é
cuja componente
é positiva.
Passo 3
No ponto
temos
Passo 4
O integrando do fluxo é o produto escalar
Passo 5
Passando a coordenadas polares em
:
,
,
,
.
O fluxo é
O fluxo é
Calculamos primeiro em
:
Então