Seja M^{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0<z=1-x^{2}-y^{2}\right\}, calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(x, y,-z) através de M, cuja normal no ponto ( 0,0,1 ) tem a terceira componente positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = (x,y,-z)
através da superfície
\displaystyle M=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=1-x^2-y^2,\;z>0\},
orientada de modo que a normal em (0,0,1) tenha terceira componente positiva.
O conteúdo é integração de superfície para gráfico de função z=f(x,y).

Passo 2

Parametrizamos M como gráfico de
\displaystyle f(x,y)=1-x^2-y^2
sobre o disco
\displaystyle D=\{(x,y):x^2+y^2<1\}.
Assim
\mathbf{r}(x,y) = \bigl(x,\;y,\;1-x^2-y^2\bigr),
e as derivadas parciais são
\mathbf{r}_x = (1,0,-2x), \quad \mathbf{r}_y = (0,1,-2y).
O vetor normal orientado para cima é
\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = (-2x,\,-2y,\,1),
cuja componente z é positiva.

Passo 3

No ponto \mathbf{r}(x,y) temos
\vec{F}\bigl(\mathbf{r}(x,y)\bigr) = \bigl(x,\;y,\;-\bigl(1-x^2-y^2\bigr)\bigr) = \bigl(x,\;y,\;-1+x^2+y^2\bigr).

Passo 4

O integrando do fluxo é o produto escalar
\vec{F}(\mathbf{r}) \cdot (\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) = (x,y,-1+x^2+y^2)\cdot(-2x,-2y,1) = -2(x^2+y^2)\;+\;(-1+x^2+y^2) = -1-(x^2+y^2).

Passo 5

Passando a coordenadas polares em D: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, 0\le r<1, 0\le\theta<2\pi.
O fluxo é
\iint_{M}\vec{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{D}\bigl[-1-(x^2+y^2)\bigr]\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\bigl[-1-r^2\bigr]\,r\,dr\,d\theta.
Calculamos primeiro em r:
\int_{0}^{1}(-r - r^3)\,dr = \Bigl[-\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = -\tfrac12 - \tfrac14 = -\tfrac34.
Então
\int_{0}^{2\pi} \Bigl(-\tfrac34\Bigr)\,d\theta = -\tfrac34\times 2\pi = -\tfrac{3\pi}{2}.

Resposta

-\frac{3\pi}{2}

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