Calcule a integral da função f(u, v)=u^{2}+v^{2} ao longo da superfície \varphi(u, v)=\left(u, v, u^{2}+v^{2}\right), \operatorname{com} u^{2}+v^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície da função f(u,v)=u^2+v^2 sobre a superfície parametrizada por
\varphi(u,v)=(u,v,u^2+v^2) com domínio D=\{(u,v)\mid u^2+v^2\le1\}.
Para isso usamos a fórmula
\iint_{\Sigma}f\,dS \;=\;\iint_{D}f(u,v)\,\bigl\|\phi_u\times\phi_v\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\phi_u=(1,0,2u),\quad \phi_v=(0,1,2v).
O produto vetorial é
\phi_u\times\phi_v =\bigl|\begin{matrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&0&2u\\\\ 0&1&2v \end{matrix}\bigr| =(-2u,\,-2v,\,1),
e seu módulo é
\bigl\|\phi_u\times\phi_v\bigr\| =\sqrt{(-2u)^2+(-2v)^2+1^2} =\sqrt{1+4(u^2+v^2)}.

Passo 3

A integral de superfície fica
\iint_{\Sigma}f\,dS =\iint_{D}(u^2+v^2)\,\sqrt{1+4(u^2+v^2)}\;du\,dv.

Passo 4

Em coordenadas polares u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta, com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi, temos u^2+v^2=r^2 e du\,dv=r\,dr\,d\theta. Logo
\iint_{\Sigma}f\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}r^2\sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Passo 5

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{1}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr, fazemos t=1+4r^2\implies dt=8r\,dr, de modo que
r^3\,dr =r^2\,(r\,dr) =\frac{t-1}{4}\cdot\frac{dt}{8} =\frac{t-1}{32}\,dt.
Assim
\int_{0}^{1}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr =\frac{1}{32}\int_{1}^{5}(t-1)t^{1/2}\,dt =\frac{1}{32}\int_{1}^{5}\bigl(t^{3/2}-t^{1/2}\bigr)\,dt.
Calculando os primitivos, obtemos
\int_{1}^{5}t^{3/2}\,dt=\frac{2}{5}t^{5/2}\Big|_{1}^{5},\quad \int_{1}^{5}t^{1/2}\,dt=\frac{2}{3}t^{3/2}\Big|_{1}^{5},
logo
\int_{0}^{1}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr =\frac{1}{32}\Bigl[\frac{2}{5}5^{5/2}-\frac{2}{3}5^{3/2} -\bigl(\tfrac{2}{5}-\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr] =\frac{5\sqrt5}{24}+\frac{1}{120}.

Passo 6

Multiplicando por 2\pi, a integral de superfície vale
2\pi\Bigl(\frac{5\sqrt5}{24}+\frac{1}{120}\Bigr) =\frac{\pi}{60}\bigl(25\sqrt5+1\bigr).

Resposta

\boxed{\iint_{\Sigma}f\,dS =\frac{\pi}{60}\,\bigl(25\sqrt5+1\bigr).}

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