Sejam o Campo vetorial
e
a curva de interseção do plano
com o cilindro
. Orientando
no sentido anti-horário, calcule a integral de
ao longo de
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva é a interseção do cilindro
com o plano .
Precisamos calcular
e a curva
com o plano
Precisamos calcular
usando parametrização de curvas em
.
Passo 2
Como a projeção de
no plano
é o círculo
orientado anti-horário (visto de cima), tomamos
com
de
a
. Pelo plano
temos
Logo
Passo 3
Derivando
em função de
,
Passo 4
Avaliaremos
:
Então o produto interno é
Simplificando,
Passo 5
Agora fazemos a integral de
a
:
Separemos em três termos:
-
pois é função ímpar no período. -
. -
pois é integral de derivada de função periódica e de funções pares/ímpares combinadas sobre o período.
Portanto