Sejam o Campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(-y^{2}, x, z^{2}\right) e \gamma a curva de interseção do plano y+z=2 com o cilindro C=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=\right. 1,0 \leq z \leq 4\}. Orientando \gamma no sentido anti-horário, calcule a integral de \vec{F} ao longo de \gamma.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=(-y^2,\;x,\;z^2)
e a curva \gamma é a interseção do cilindro
\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1,\;0\le z\le4\}
com o plano y+z=2.
Precisamos calcular
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r
usando parametrização de curvas em \Bbb R^3.

Passo 2

Como a projeção de \gamma no plano xy é o círculo x^2+y^2=1 orientado anti-horário (visto de cima), tomamos
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t,
com t de 0 a 2\pi. Pelo plano y+z=2 temos
z(t)=2-y(t)=2-\sin t.
Logo
\vec r(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;2-\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi].

Passo 3

Derivando \vec r(t) em função de t,
\vec r\,'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-\,\cos t\bigr).

Passo 4

Avaliaremos \vec F(\vec r(t)):
\vec F\bigl(\cos t,\sin t,2-\sin t\bigr) =\bigl(-\sin^2t,\;\cos t,\;(2-\sin t)^2\bigr).
Então o produto interno é
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =\bigl(-\sin^2t\bigr)(-\,\sin t) +(\cos t)(\cos t) +(2-\sin t)^2(-\cos t).
Simplificando,
\vec F\cdot\vec r\,' =\sin^3t+\cos^2t-(2-\sin t)^2\cos t.

Passo 5

Agora fazemos a integral de 0 a 2\pi:
I=\int_{0}^{2\pi} \bigl[\sin^3t+\cos^2t-(2-\sin t)^2\cos t\bigr]\,dt.
Separemos em três termos:
  1. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^3t\,dt=0 pois \sin^3t é função ímpar no período.
  2. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.
  3. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(2-\sin t)^2\cos t\,dt=0 pois é integral de derivada de função periódica e de funções pares/ímpares combinadas sobre o período.
Portanto
I=0+\pi-0=\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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