Sejam M^{2} e N^{2} duas superfícies, uma função F: M \rightarrow N é uma aplicação F: U \rightarrow V entre os subconjuntos abertos U, V \subset \mathbb{R}^{3} com M \subset U e N \subset V. Por sua vez, a derivada de uma função F: M \rightarrow N é uma aplicação entre os planos tangentes de M^{2} e N^{2}, dada da seguinte maneira:
\left.\dot{F}(p)\right|_{M}=\dot{F}(p) . V
onde V é um vetor pertencente ao plano tangente a M. Determine a derivada da função F: \mathbb{S}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por F(x, y)=\left(x, y, x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada (ou diferencial) de
F\colon \mathbb{S}^2\to \mathbb{R}^3 \quad\text{definida por}\quad F(x,y,z) = (x,\;y,\;x^2+y^2)
vista como restrição de uma função F\colon U\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3.
Para isso vamos (i) calcular as derivadas parciais de F em \mathbb{R}^3, (ii) montar a matriz jacobiana e (iii) aplicá-la a um vetor V qualquer do plano tangente T_p\mathbb{S}^2.

Passo 2

Em coordenadas (x,y,z)\in U\subset\mathbb{R}^3 temos as derivadas parciais
\frac{\partial F}{\partial x} = (1,\,0,\,2x), \qquad \frac{\partial F}{\partial y} = (0,\,1,\,2y), \qquad \frac{\partial F}{\partial z} = (0,\,0,\,0).

Passo 3

A matriz jacobiana de F em (x,y,z) é
DF(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2x & 2y & 0 \end{pmatrix}.
Sejam p=(x,y,z)\in\mathbb{S}^2 e V=(a,b,c)\in T_p\mathbb{S}^2. Então
DF(p)\bigl[(a,b,c)\bigr] =(a,\;b,\;2x\,a+2y\,b).

Passo 4

Lembrando que V=(a,b,c) pertence ao plano tangente T_p\mathbb{S}^2, satisfazendo
x\,a + y\,b + z\,c = 0,
a componente (2x\,a+2y\,b) já está correta e a derivada fica exatamente
DF(p)[V] = (a,\;b,\;2x\,a+2y\,b).

Resposta

Para todo p=(x,y,z)\in\mathbb{S}^2 e V=(a,b,c)\in T_p\mathbb{S}^2,
\dot F(p)\bigl|_{T_p\mathbb{S}^2}(V) = (a,\;b,\;2x\,a + 2y\,b).

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