Sejam M^{2} e N^{2} duas superfícies, uma função F: M \rightarrow N é uma aplicação F: U \rightarrow V entre os subconjuntos abertos U, V \subset \mathbb{R}^{3} com M \subset U e N \subset V. Por sua vez, a derivada de uma função F: M \rightarrow N é uma aplicação entre os planos tangentes de M^{2} e N^{2}, dada da seguinte maneira:
\left.\dot{F}(p)\right|_{M}=\dot{F}(p) . V
onde V é um vetor pertencente ao plano tangente a M. Determine a derivada da função F: \mathbb{S}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por F(x, y)=\left(x, y, x^{2}+y^{2}\right)
vista como restrição de uma função F\colon U\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3.
Para isso vamos (i) calcular as derivadas parciais de F em \mathbb{R}^3, (ii) montar a matriz jacobiana e (iii) aplicá-la a um vetor V qualquer do plano tangente T_p\mathbb{S}^2.
Passo 2
Em coordenadas (x,y,z)\in U\subset\mathbb{R}^3 temos as derivadas parciais