Questão 2 (2,0 pontos)
Dada a EDO:
y^prime=y(4-y^2)
(a) Sem resolver faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
(b) Resolva como uma EDO de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado trata da EDO autônoma
dydx=yl(4 - y^2r)
Em (a) precisamos encontrar os pontos de equilíbrio e discutir sua estabilidade sem resolver explicitamente. Em (b) vamos resolver a EDO usando a transformação de Bernoulli.

Passo 2

Para achar os equilíbrios, impomos
yl(4 - y^2r)=0
que dá as soluções -2, 0 e 2. Para classificar a estabilidade, analisamos o sinal de
f(y)=y(4-y^2)
– Para y< -2: y<0 e 4-y^2<0 Rightarrow f(y)>0 Rightarrow y aumenta em direção a -2.
– Para -2<y<0: y<0 e 4-y^2>0 Rightarrow f(y)<0 Rightarrow y diminui em direção a -2.
Logo em y=-2 as soluções se aproximam vindo de ambos os lados Rightarrow equilíbrio estável.
– Para 0<y<2: y>0 e 4-y^2>0 Rightarrow f(y)>0 Rightarrow y cresce em direção a 2.
– Para y>2: y>0 e 4-y^2<0 Rightarrow f(y)<0 Rightarrow y diminui em direção a 2.
Logo em y=2 as soluções se aproximam Rightarrow equilíbrio estável.
Em y=0: à esquerda ( -2<y<0) temos f(y)<0 (se afasta) e à direita ( 0<y<2) temos f(y)>0 (se afasta) Rightarrow equilíbrio instável.

Passo 3

Esboço qualitativo (linha de fase em y):
\bullet-- 2 \leftarrow \bullet 0to \bullet 2 \leftarrow
  • Setas indicam direção de evolução de y conforme x cresce.
  • As soluções com |y0|<2 afastam‐se de 0 e tendem ao equilíbrio estável mais próximo ( pm2).
  • As soluções com |y0|>2 também tendem a pm2.
  • Em cada caso as curvas y(x) se aproximam assintoticamente de -2 ou 2.

Passo 4

Reescrevemos a EDO em forma de Bernoulli:
y' - 4y = -,y^3,
onde n=3. Fazemos a troca
u = y^1-n=y^-2
Então
u'=(1-n),y^-n,y'=-2,y^-3,y'
Dividindo a equação original por y^3:
y^-3y' ;-;4,y^-2=-1
Substituindo y^-3y'=-u'/2 e y^-2=u obtemos
-u'2 -4u = -1 Longrightarrow u' +8u = 2
É uma EDO linear de coeficientes constantes. O fator integrante é e^8x, então
u,e^8x = integral 2,e^8x,dx = 28,e^8x + C Longrightarrow u(x)=14 + C,e^-8x
Voltando a y:
y^-2 = 14 + C,e^-8x Longrightarrow y(x) = pm 1raiz14 + C,e^-8x = pm 2raiz1 + 4C,e^-8x,

Resposta

(a) Pontos de equilíbrio e estabilidade:
-2 estável, 0 instável, 2 estável.
(b) Solução geral (constant CinR):
y(x) = pm 2raiz1 + 4C,e^-8x,

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