Questão 2 (2,0 pontos)
Dada a EDO:
(a) Sem resolver faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
(b) Resolva como uma EDO de Bernoulli.
Dada a EDO:
(b) Resolva como uma EDO de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado trata da EDO autônoma
Em (a) precisamos encontrar os pontos de equilíbrio e discutir sua estabilidade sem resolver explicitamente. Em (b) vamos resolver a EDO usando a transformação de Bernoulli.
Passo 2
Para achar os equilíbrios, impomos
que dá as soluções
,
e
. Para classificar a estabilidade, analisamos o sinal de
– Para
:
e
aumenta em direção a
.
– Para :
e
diminui em direção a
.
Logo em as soluções se aproximam vindo de ambos os lados
equilíbrio estável.
– Para :
e
cresce em direção a
.
– Para :
e
diminui em direção a
.
Logo em as soluções se aproximam
equilíbrio estável.
Em : à esquerda (
) temos
(se afasta) e à direita (
) temos
(se afasta)
equilíbrio instável.
– Para
Logo em
– Para
– Para
Logo em
Em
Passo 3
Esboço qualitativo (linha de fase em
):
- Setas indicam direção de evolução de
conforme cresce. - As soluções com
afastam‐se de e tendem ao equilíbrio estável mais próximo ( ). - As soluções com
também tendem a . - Em cada caso as curvas
se aproximam assintoticamente de ou .
Passo 4
Reescrevemos a EDO em forma de Bernoulli:
onde
. Fazemos a troca
Então
Dividindo a equação original por
:
Substituindo
e
obtemos
É uma EDO linear de coeficientes constantes. O fator integrante é
, então
Voltando a
:
Resposta
(a) Pontos de equilíbrio e estabilidade:
estável,
instável,
estável.
(b) Solução geral (constant
):