Calcule a integral integral0^0.5 raizx sen(x) d x com cinco casas decimais de precisão.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^0.5 raizx,sen(x),dx
com cinco casas decimais de precisão. Como o intervalo é pequeno e a função é suave, vamos usar a série de Maclaurin de sen(x) e integrar termo a termo até que o erro seja menor que 10^-6.

Passo 2

A série de Maclaurin de sen(x) é
sen(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Multiplicando por raizx=x^1/2, o integrando fica
raizx,sen(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+tfrac32(2n+1)!
Integrando de 0 a 0.5 termo a termo, obtemos
integral0^0.5 x^2n+tfrac32,dx = (0.5)^2n+tfrac522n+tfrac52,
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I = integral0^0.5raizx,sen(x),dx = sumn=0^infty (-1)^n (0.5)^2n+tfrac52(2n+1)!,l(2n+tfrac52r)

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos tn e verificar quando o resto da série fica abaixo de 10^-6.

Passo 5

Para n=0:
t0 = (0.5)^5/21!,tfrac52 approx 0,07071068
Para n=1:
t1 = -(0.5)^9/23!,tfrac92 approx -0,00163681
Para n=2:
t2 = (0.5)^13/25!,tfrac132 approx 0,00001417
O termo n=3 já vale cerca de -6,4times10^-8, muito menor que 10^-6, então podemos truncar após n=2. Somando
I approx 0,07071068 - 0,00163681 + 0,00001417 = 0,06908804,
e incluindo o termo n=3 a correção dá Iapprox0,06908798.

Passo 6

Arredondando para cinco casas decimais, obtemos
I approx 0,06909

Resposta

0,06909

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