Questão 3
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Uma partícula se desloca sobre o eixo
com uma função posição
. Determine a posição da partícula em
sabendo que
e
.
a.
○.
c.
○.
e.
Vale 1,00 ponto(s).
a.
c.
e.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com uma função posição $ x(t) $. Queremos descobrir onde essa partícula está no tempo $ t = 3 $. Para isso, conhecemos a segunda derivada da posição em relação ao tempo, que é $ x’’(t) = t^2 + \frac{3}{t^2} $, além das condições iniciais: $ x(1) = 5 $ e $ x’(1) = 3 $. Vamos precisar integrar a segunda derivada para achar a função posição completa.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a segunda derivada $ x’’(t) $ para encontrar a primeira derivada $ x’(t) $. A integral de $ x’’(t) $ em relação a $ t $ nos dá $ x’(t) $:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante de integração $ C_1 $. Sabemos que $ x’(1) = 3 $. Substituindo $ t = 1 $ na expressão de $ x’(t) $:
Simplificando:
Então, a primeira derivada completa é:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ x’(t) $ para encontrar a função posição $ x(t) $:
Integrando termo a termo:
Portanto, a função posição é:
Passo 5
Vamos usar a condição inicial $ x(1) = 5 $ para encontrar a constante $ C_2 $. Substituindo $ t = 1 $ na expressão de $ x(t) $:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então:
Vamos calcular:
Então:
Agora, a função posição completa é:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a posição da partícula em $ t = 3 $. Substituindo $ t = 3 $ na expressão de $ x(t) $:
Calculando cada termo:
Então:
Para expressar de forma semelhante às opções, podemos reescrever:
Resposta
A posição da partícula em $ t = 3 $ é $ \frac{1}{12}(276 - 36 \ln (3)) $. Portanto, a alternativa correta é:
○. $ \frac{1}{12}(276-36 \ln (3)) $