Questão 3

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma função posição x=x(t). Determine a posição da partícula em t=3 sabendo que x^prime prime(t)=t^2+3t^2, x(1)=5 e x^prime(1)=3.
a. 112(348+36 ln (3))
○. 112(276-36 ln (3))
c. 112(276-12 ln (3))-3
○. 112(300-36 ln (3))
e. 112(276-12 ln (3))

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com uma função posição $ x(t) $. Queremos descobrir onde essa partícula está no tempo $ t = 3 $. Para isso, conhecemos a segunda derivada da posição em relação ao tempo, que é $ x’’(t) = t^2 + \frac{3}{t^2} $, além das condições iniciais: $ x(1) = 5 $ e $ x’(1) = 3 $. Vamos precisar integrar a segunda derivada para achar a função posição completa.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada $ x’’(t) $ para encontrar a primeira derivada $ x’(t) $. A integral de $ x’’(t) $ em relação a $ t $ nos dá $ x’(t) $:
x''(t)
Vamos integrar termo a termo:
x'(t)
x''(t)
Então, a primeira derivada é:
t

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante de integração $ C_1 $. Sabemos que $ x’(1) = 3 $. Substituindo $ t = 1 $ na expressão de $ x’(t) $:
C1
Simplificando:
x'(1) = 3
Então, a primeira derivada completa é:
t = 1

Passo 4

Agora, vamos integrar $ x’(t) $ para encontrar a função posição $ x(t) $:
x'(t)
Integrando termo a termo:
x(t)
x(t) = integral x'(t) , dt = integral ( t^33 - 3t + 173 ) dt
integral t^33 , dt = 13 cdot t^44 = t^412
Portanto, a função posição é:
integral -3t , dt = -3 ln |t|

Passo 5

Vamos usar a condição inicial $ x(1) = 5 $ para encontrar a constante $ C_2 $. Substituindo $ t = 1 $ na expressão de $ x(t) $:
x(1) = 5
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então:
C2
Vamos calcular:
t = 1
Então:
x(t)
Agora, a função posição completa é:
5 = 1^412 - 3 ln 1 + 173 cdot 1 + C2

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a posição da partícula em $ t = 3 $. Substituindo $ t = 3 $ na expressão de $ x(t) $:
t = 3
Calculando cada termo:
t = 3
x(t)
Então:
x(3) = 3^412 - 3 ln 3 + 173 cdot 3 - 34
Para expressar de forma semelhante às opções, podemos reescrever:
3^412 = 8112 = 274

Resposta

A posição da partícula em $ t = 3 $ é $ \frac{1}{12}(276 - 36 \ln (3)) $. Portanto, a alternativa correta é:
○. $ \frac{1}{12}(276-36 \ln (3)) $

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