Questão 2
Ainda não respondida
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Uma aplicação de polinômios de Taylor é o cálculo aproximado do valor de integrais definidas quando o integrando não tem antiderivada conhecida ou facilmente calculável. Por exemplo, a função
não possui uma antiderivada que pode ser expressa em termos das funções clássicas. Neste caso, para aproximar o valor da integral definida
primeiramente encontre o polinômio de Taylor de grau (ordem) 2 de
centrado em 0 , e depois calcule a integral definida (de 0 até 3 ) do polinômio encontrado. Assim, o valor aproximado da integral definida buscada originalmente é:
c)
a)
b)
d)
e)
Limpar minha escolha
c)
a)
b)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral definida de uma função que não tem uma antiderivada fácil de achar. Para isso, vamos usar o Polinômio de Taylor de segundo grau centrado em 0 para aproximar essa função. Assim, vamos precisar entender um pouco sobre Polinômios de Taylor e como usá-los para aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Polinômio de Taylor de grau 2 para a função $ f(x) = \operatorname{sen}(2x^2 + 5) $ centrado em 0.
O Polinômio de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ a = 0 $ é dado por:
Então, precisamos calcular $ f(0) $, $ f’(0) $ e $ f’’(0) $.
Primeiro, calculemos $ f(0) $:
Agora, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $:
Então,
Agora, a segunda derivada $ f’’(x) $:
Então,
Agora, substituindo esses valores no Polinômio de Taylor:
Passo 3
Agora que temos o Polinômio de Taylor de segundo grau, vamos calcular a integral definida de 0 a 3 desse polinômio:
Vamos integrar termo a termo:
Somando as duas partes:
Resposta
a) $ 3 \operatorname{sen}(5) + 18 \operatorname{cos}(5) $