Questão 2

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Uma aplicação de polinômios de Taylor é o cálculo aproximado do valor de integrais definidas quando o integrando não tem antiderivada conhecida ou facilmente calculável. Por exemplo, a função sen^3(5)+36 cos (5) não possui uma antiderivada que pode ser expressa em termos das funções clássicas. Neste caso, para aproximar o valor da integral definida 3 sen(5)+18 cos (5) primeiramente encontre o polinômio de Taylor de grau (ordem) 2 de 3 sen(5)+36 cos (5) centrado em 0 , e depois calcule a integral definida (de 0 até 3 ) do polinômio encontrado. Assim, o valor aproximado da integral definida buscada originalmente é:
c) 18 cos (5)-3 sen(5)
a) 3 sen(5)2+36 cos (5)
b)
d)
e)
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral definida de uma função que não tem uma antiderivada fácil de achar. Para isso, vamos usar o Polinômio de Taylor de segundo grau centrado em 0 para aproximar essa função. Assim, vamos precisar entender um pouco sobre Polinômios de Taylor e como usá-los para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Polinômio de Taylor de grau 2 para a função $ f(x) = \operatorname{sen}(2x^2 + 5) $ centrado em 0.
O Polinômio de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ a = 0 $ é dado por:
f(x) = sen(2x^2 + 5)
Então, precisamos calcular $ f(0) $, $ f’(0) $ e $ f’’(0) $.
Primeiro, calculemos $ f(0) $:
f(x)
Agora, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $:
a = 0
Então,
P2(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2
Agora, a segunda derivada $ f’’(x) $:
f(0)
f'(0)
Então,
f''(0)
Agora, substituindo esses valores no Polinômio de Taylor:
f(0)

Passo 3

Agora que temos o Polinômio de Taylor de segundo grau, vamos calcular a integral definida de 0 a 3 desse polinômio:
integral0^3 P2(x) , dx = integral0^3 [ sen(5) + 2 cos(5) x^2 ] dx
Vamos integrar termo a termo:
integral0^3 sen(5) , dx = sen(5) cdot x |0^3 = sen(5) cdot 3 - sen(5) cdot 0 = 3 sen(5)
integral0^3 2 cos(5) x^2 , dx = 2 cos(5) cdot x^33 |0^3 = 2 cos(5) cdot 273 - 0 = 18 cos(5)
Somando as duas partes:
3 sen(5) + 18 cos(5)

Resposta

a) $ 3 \operatorname{sen}(5) + 18 \operatorname{cos}(5) $

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