Questão 5

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Para cada uma das seguintes afirmações diga se ela é verdadeira (V), falsa (F) ou que você não sabe (Não sei).
Atenção: Cada resposta correta vale 1 / 6 da nota, cada resposta errada desconta 1 / 12 da nota, e as respostas Não sei valem 0 .
Para as afirmações A1 e A2, sejam f uma função contínua no intervalo [a, b], c1, c2 in(a, b) dois pontos quaisquer,
g(x)=integralc1^x f(t) d t para x in[a, b] e h(x)=integralc2^x f(t) d t para x in[a, b].
A1-Se c1>c2, então g(x) <= h(x) para qualquer x in[c1, b]. square
A2- Independendo dos valores de c1 e c2, sempre g^prime(x)=h^prime(x) para qualquer x in(a, b). square
A3- Se f é uma função contínua no intervalo [1,5], f(3)=2, f^prime(3)=3 e g(x)=integrala^b f(t) d t para x in[1,5], onde a, b in(1,5) são duas constantes quaisquer, então g^prime(3)=2. square
A4- integral-2^3 1x^2 d x=-56. square
A5- Se F^prime(x)=f(x) em todos os pontos do domínio, então integral1^2 f(x) d x=F(2)-F(1). square A6- Se f é uma função contínua em [0,1], f(a)=b, onde a in(0,1), e g(x)=integral0^x f(t) d t para x in(0,1), então g^prime(a)=b. square

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações envolvendo integrais definidas, o Teorema Fundamental do Cálculo e integrais impróprias. Precisamos classificar cada afirmação como verdadeira (V), falsa (F) ou “Não sei”. Para isso, vamos usar:
  1. A definição de g(x)=integralc1^xf(t),dt e de h(x)=integralc2^xf(t),dt e suas derivadas (FTC parte 1).
  2. Análise de integrais constantes e impróprias.
  3. O Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 para antiderivadas.

Passo 2

Analisando A1: Se c1>c2 e xin[c1,b],
h(x)-g(x) =integralc2^xf(t),dt-integralc1^xf(t),dt =integralc2^c1f(t),dt
Sem hipótese sobre o sinal de f, o sinal de integralc2^c1f é indeterminado. Logo não se garante g(x)<= h(x).
A1 é FALSA.

Passo 3

Analisando A2: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo parte 1, para xin(a,b),
g'(x)=f(x), h'(x)=f(x)
Portanto g'(x)=h'(x) sempre.
A2 é VERDADEIRA.

Passo 4

Analisando A3: Aqui g(x)=integrala^bf(t),dt não depende de x, é constante. Então
g'(x)=0 Longrightarrow g'(3)=0neq2
A3 é FALSA.

Passo 5

Analisando A4:
integral-2^31x^2dx é imprópria em x=0.
integral-2^01x^2dx diverge a +infty.
Logo a integral não é -tfrac56, diverge.
A4 é FALSA.

Passo 6

Analisando A5: Se F'(x)=f(x) em todo domínio, o Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 dá
integral1^2f(x),dx=F(2)-F(1)
A5 é VERDADEIRA.

Passo 7

Analisando A6: Para g(x)=integral0^xf(t),dt com f contínua, pelo FTC parte 1
g'(x)=f(x),
assim g'(a)=f(a)=b.
A6 é VERDADEIRA.

Resposta

A1: F
A2: V
A3: F
A4: F
A5: V
A6: V

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