Calcule a integral colocando-a em coordenadas polares.
em que
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Temos a integral dupla
, onde
é o semicírculo de raio 2 acima do eixo
. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, pois a função depende de
e a região é um disco (metade).
Passo 2
Na mudança para coordenadas polares, fazemos
,
e a área elementar fica
. Além disso,
, então o integrando vira
.
Precisamos identificar os limites de integração em e
. Como
é a metade superior do disco de raio 2, temos
Precisamos identificar os limites de integração em
Passo 3
Logo, a integral se transforma em
Passo 4
Para calcular
, fazemos a substituição
, então
ou
. Os limites em
vão de 0 a 4. Assim,
Passo 5
Agora voltamos à integral em
:
Passo 6
Multiplicando tudo, obtemos