Calcule a integral colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A em que D é a região limitada pelo semicírculo y= raiz4-x^2 e o eixo x.

Passo 1

Temos a integral dupla integral duplaD e^-x^2-y^2,dA, onde D é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, pois a função depende de x^2+y^2 e a região é um disco (metade).

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares, fazemos x = rcostheta, y = rsintheta e a área elementar fica dA = r,dr,dtheta. Além disso, x^2+y^2 = r^2, então o integrando vira e^-r^2.
Precisamos identificar os limites de integração em r e theta. Como D é a metade superior do disco de raio 2, temos
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi

Passo 3

Logo, a integral se transforma em
integral0^pi integral0^2 e^-r^2 ;r,dr,dtheta

Passo 4

Para calcular integral0^2 e^-r^2,r,dr, fazemos a substituição u = r^2, então du = 2r,dr ou r,dr = tfrac12 du. Os limites em u vão de 0 a 4. Assim,
integral0^2 e^-r^2,r,dr = integral0^4 e^-u ;12du = 12 l[-e^-ur]0^4 = 12 (1 - e^-4)

Passo 5

Agora voltamos à integral em theta:
integral0^pi dtheta = pi

Passo 6

Multiplicando tudo, obtemos
pi cdot 1 - e^-42 = pi2l(1 - e^-4r)

Resposta

pi2l(1 - e^-4r)

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