Considere o conjunto
S=(2,1,1),(1,-1,1),(3,0,2)
w=(3,3,-3) in Ger(S)?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
w=(3,3,-3)
pertence à geradora (span) do conjunto
S=,v1=(2,1,1),;v2=(1,-1,1),;v3=(3,0,2)
Em outras palavras, queremos ver se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=w
Vamos traduzir isso num sistema linear e checar se há solução.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, a condição
alpha,(2,1,1)+beta,(1,-1,1)+gamma,(3,0,2)=(3,3,-3)
vira o sistema
2alpha + beta + 3gamma = 3, alpha - beta + 0gamma = 3, alpha + beta + 2gamma = -3

Passo 3

Da segunda equação temos
alpha - beta = 3 Longrightarrow beta = alpha - 3

Passo 4

Substituindo beta=alpha-3 na primeira equação:
2alpha + (alpha-3) + 3gamma = 3 Longrightarrow 3alpha + 3gamma = 6 Longrightarrow alpha + gamma = 2 Longrightarrow gamma = 2-alpha

Passo 5

Agora inserimos beta=alpha-3 e gamma=2-alpha na terceira equação:
alpha + (alpha-3) + 2(2-alpha) = -3
O lado esquerdo é
alpha + alpha - 3 + 4 - 2alpha = 1,
logo ficamos com
1 = -3,
o que é impossível.

Passo 6

Como chegamos a uma contradição, não existe tripla (alpha,beta,gamma) satisfazendo todas as equações. Portanto não há combinação linear que produza w.

Resposta

wnotinGer(S).

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