Considere o conjunto
S=[cc 1 & -1 1 & 1 ],[cc -1 & 1 1 & 1 ],[ll 1 & 1 1 & 1 ],[ll 1 & 1 1 & 0 ]
A matriz A=[ll3 & 1 5 & 6] pertence ao espaço gerado por S?

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial M2times2(R) (as matrizes 2times2) e o subconjunto
S=lM1=1 & -11 & 1,; M2=-1 & 11 & 1,; M3=1 & 11 & 1,; M4=1 & 11 & 0r
Queremos saber se a matriz
A = 3 & 15 & 6
pertence ao subespaço gerado por S, ou seja, se existem escalares alpha,beta,gamma,de<a tais que
alpha M1 + beta M2 + gamma M3 + de<a M4 = A

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a combinação linear
alpha1 & -11 & 1 +beta-1 & 11 & 1 +gamma1 & 11 & 1 +de<a1 & 11 & 0 = 3 & 15 & 6

Passo 3

Igualando entrada a entrada obtemos o sistema
alpha - beta + gamma + de<a = 3, -alpha + beta + gamma + de<a = 1, alpha + beta + gamma + de<a = 5, alpha + beta + gamma = 6

Passo 4

Da última equação alpha + beta + gamma = 6 somada a de<a deve dar 5 (terceira linha), logo
6 + de<a = 5 Longrightarrow de<a = -1

Passo 5

Com
Somando essas duas equações vem .
Em seguida, de temos
e de (com ) vem
Resolvendo e obtemos

Passo 6

Encontramos
(alpha,beta,gamma,de<a) = (2,1,3,-1),
logo
A = 2M1 + 1M2 + 3M3 - 1M4
e portanto A pertence ao espaço gerado por S.

Resposta

Sim. Uma combinação que gera A é
A = 21 & -11 & 1 +1-1 & 11 & 1 +31 & 11 & 1 -11 & 11 & 0

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