Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
integral1^3 integral0^ln x x d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral1^3integral0^ln xx,dy,dx
invertendo a ordem de integração. O conteúdo é uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem, o que exige identificar corretamente a região de integração em termos de x e y.

Passo 2

Descrita em coordenadas (x,y), a região R é
1 <= x <= 3, 0 <= y <= ln x
Para inverter, isolamos y: como 0<= y<= ln x e x<=3, temos
0 <= y <= ln 3 e e^y <= x <= 3

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem trocada, obtemos
integral1^3integral0^ln xx,dy,dx =integral0^ln 3integrale^y^3x,dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integrale^y^3x,dx =[x^22]e^y^3 =92-e^2y2

Passo 5

Agora integramos em y:
integral0^ln 3l(92-e^2y2r)dy =92integral0^ln 3dy -12integral0^ln 3e^2ydy
Calculando cada parte:
integral0^ln 3dy=ln 3, integral0^ln 3e^2ydy =[e^2y2]0^ln 3 =9-12=4
Logo,
92ln 3-12cdot4 =92ln 3-2

Resposta

92ln 3 - 2

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