Seja S=x^2-2 x+1, x-1, x^2+1.
p(x)=-2 x^2+7 x-1 in Ger(S)?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = ,x^2 - 2x + 1,;x-1,;x^2+1
e pede para verificar se
p(x) = -2x^2 + 7x - 1
está em Ger(S), ou seja, se existe combinação linear dos polinômios de S que resulte em p(x).

Passo 2

Vamos supor que existam escalares a,b,c tais que
a,(x^2-2x+1);+;b,(x-1);+;c,(x^2+1);=;-2x^2+7x-1
Nosso objetivo é achar a, b e c.

Passo 3

Expandindo a combinação do lado esquerdo, obtemos
a,x^2 - 2a,x + a + b,x - b + c,x^2 + c = (a+c),x^2 +(-2a+b),x + (a - b + c)
Comparando coeficientes com -2x^2 + 7x - 1, formamos o sistema
a + c = -2, -2a + b = 7, a - b + c = -1

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação c = -2 - a.
Da segunda b = 7 + 2a.
Substituindo em a - b + c = -1:
a - (7+2a) +(-2 - a) = -1 Longrightarrow -2a - 9 = -1 Longrightarrow a = -4
Logo c = -2 - (-4) = 2 e b = 7 + 2(-4) = -1.

Passo 5

Encontramos (a,b,c)=(-4,-1,2). Logo
-2x^2+7x-1 = -4,(x^2-2x+1);-;(x-1);+;2,(x^2+1),
e portanto p(x)inGer(S).

Resposta

Sim. Uma combinação possível é
p(x)=-4,(x^2-2x+1);-;(x-1);+;2,(x^2+1)

Exercícios relacionados