Calcule a integral integralegral duplaD e^-x^2-y^2 d A, colocando-a em coordenadas polares, onde D é a região limitada pelo semicírculo y=raiz4-x^2 e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla integral duplaD e^-x^2-y^2 , dA, onde D é a região delimitada pelo semicírculo y = raiz4 - x^2 e pelo eixo y. Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa conta. Para isso, precisamos entender como mudar as coordenadas de cartesianas para polares e definir os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. A equação y = raiz4 - x^2 representa um semicírculo de raio 2, centrado na origem, e localizado acima do eixo x. Junto com o eixo y, isso forma uma área que parece uma “fatia de pizza” do semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, usamos r para a distância até a origem e theta para o ângulo com o eixo x. As relações são:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 4

Precisamos expressar a função da integral e os limites de integração em coordenadas polares. A função e^-x^2-y^2 vira e^-r^2, já que x^2 + y^2 = r^2. Então, a integral dupla fica:
integral duplaD e^-r^2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos determinar os limites para r e theta. Como a região D é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x, r varia de 0 a 2. O ângulo theta vai de 0 a pi, cobrindo o semicírculo superior.

Passo 6

Agora, montamos a integral com os limites encontrados:
integral0^pi integral0^2 e^-r^2 , r , dr , dtheta
Vamos primeiro integrar em relação a r e depois em relação a theta.

Passo 7

Para integrar integral0^2 e^-r^2 , r , dr, fazemos uma substituição:
Seja u = -r^2, então du = -2r , dr, ou seja, - 12 du = r , dr.
Assim, a integral vira:
- 12 integral0^-4 e^u , du = 12 integral-4^0 e^u , du = 12 [ e^u ]-4^0 = 12 (1 - e^-4)

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral em r de volta na integral em theta:
integral0^pi 12 (1 - e^-4) , dtheta = 12 (1 - e^-4) integral0^pi dtheta = 12 (1 - e^-4) times pi

Resposta

A integral dupla vale dfracpi2 (1 - e^-4).

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