Calcule a integral
, colocando-a em coordenadas polares, onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa conta. Para isso, precisamos entender como mudar as coordenadas de cartesianas para polares e definir os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A equação
representa um semicírculo de raio 2, centrado na origem, e localizado acima do eixo
. Junto com o eixo
, isso forma uma área que parece uma “fatia de pizza” do semicírculo.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, usamos
para a distância até a origem e
para o ângulo com o eixo
. As relações são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Precisamos expressar a função da integral e os limites de integração em coordenadas polares. A função
vira
, já que
. Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos determinar os limites para
e
. Como a região
é o semicírculo de raio 2 acima do eixo
,
varia de 0 a 2. O ângulo
vai de
a
, cobrindo o semicírculo superior.
Passo 6
Agora, montamos a integral com os limites encontrados:
Vamos primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
.
Passo 7
Para integrar
, fazemos uma substituição:
Seja , então
, ou seja,
.
Assim, a integral vira:
Seja
Assim, a integral vira:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral em
de volta na integral em
:
Resposta
A integral dupla vale
.