Sejam f, g: R R definidas por f(x)=0 se x é irracional e f(x)=x se x in Q ; g(0)=1 e g(x)=0 se x neq 0. Mostre que lim x 0 f(x)=0 e lim y 0 g(y)=0, porém não existe lim x 0 g(f(x)).

Passo 1

O enunciado define \
  • fcolon RtoR por
    ,f(x)=0 se xnotinQ e ,f(x)=x se xinQ. \
  • gcolon RtoR por
    ,g(0)=1 e ,g(x)=0 para xneq 0.
    Pede-se mostrar que
    limxto 0f(x)=0,
    limyto 0g(y)=0 e que
    limxto 0g(f(x)) não existe.
    Usaremos definições epsilon de<a de limite e um argumento de oscilação para o composto.

Passo 2

Provar limxto 0f(x)=0.
Dado epsilon>0, escolha de<a=epsilon. Se 0<|x|<de<a:
  • Se xnotinQ, então f(x)=0 e |f(x)-0|=0<epsilon.
  • Se xinQ, então f(x)=x e |f(x)-0|=|x|<de<a=epsilon.
    Logo, pelos critérios epsilon de<a, limxto 0f(x)=0.

Passo 3

Provar limyto 0g(y)=0.
Dado epsilon>0, basta escolher, por exemplo, de<a=1. Se 0<|y|<de<a então yneq0 e g(y)=0, logo
|g(y)-0|=0<epsilon
Concluímos que limyto 0g(y)=0.

Passo 4

Mostrar que limxto 0g(f(x)) não existe.
Observe que, para xneq0:
  • Se xnotinQ, então f(x)=0 e g(f(x))=g(0)=1.
  • Se xinQ, então f(x)=xneq0 e g(f(x))=0.
    Assim, em qualquer vizinhança de 0 o valor de g(f(x)) oscila entre 1 e 0.
    Suponha, por absurdo, que exista LinR tal que limxto 0g(f(x))=L.
    Escolha epsilon=tfrac12. Para qualquer de<a>0 encontramos xnotinQ e xinQ com 0<|x|<de<a, de modo que
|g(f(x))-L|>= tfrac12
para um desses pontos, contradizendo a definição de limite. Portanto o limite não existe.

Resposta

limxto 0f(x)=0,
limyto 0g(y)=0
porém
limxto 0g(f(x)) não existe.

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