Sejam
definidas por
se
é irracional e
se
e
se
. Mostre que
e
, porém não existe
.
Passo 1
O enunciado define \
-
por
se e se . \ -
por
e para .
Pede-se mostrar que
,
e que
não existe.
Usaremos definições– de limite e um argumento de oscilação para o composto.
Passo 2
Provar
.
Dado , escolha
. Se
:
Dado
- Se
, então e . - Se
, então e .
Logo, pelos critérios– , .
Passo 3
Provar
.
Dado , basta escolher, por exemplo,
. Se
então
e
, logo
Dado
Concluímos que
.
Passo 4
Mostrar que
não existe.
Observe que, para :
Observe que, para
- Se
, então e . - Se
, então e .
Assim, em qualquer vizinhança deo valor de oscila entre e .
Suponha, por absurdo, que existatal que .
Escolha. Para qualquer encontramos e com , de modo que
para um desses pontos, contradizendo a definição de limite. Portanto o limite não existe.
Resposta
porém