Mostre que a seguinte setença é verdadeira:
lim x 0 sin (x)x=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto 0sin(x)x=1
O conteúdo principal é cálculo de limite usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) aliado à desigualdade trigonométrica clássica
sin(x)<x<tan(x)
para x em (0,tfracpi2), e depois estender para o caso de xto0^-.

Passo 2

Para x em (0,tfracpi2) podemos usar um argumento geométrico no círculo de raio 1 para obter
sin(x)<x<tan(x)
Esse resultado vem das áreas: triângulo inscrito embaixo do arco tem área tfrac12sin(x), o setor circular tem área tfrac12x e o triângulo circunscrito acima do arco tem área tfrac12tan(x).

Passo 3

Da desigualdade sin(x)<x<tan(x) dividimos por sin(x) e multiplicamos por tfrac1x, obtendo
1<xsin(x)<1cos(x)
Invertendo todos os termos (mantendo a ordem pois são positivos) dá
cos(x)<sin(x)x<1

Passo 4

Ao fazermos xto0^+, sabemos que
limxto0^+cos(x)=1,
logo pelo Teorema do Confronto
limxto0^+sin(x)x=1
Como a função tfracsin(x)x é par (isto é, sin(-x)/(-x)=sin(x)/x), o limite pela esquerda coincide:
limxto0^-sin(x)x =limuto0^+sin(u)u=1

Passo 5

Com os limites laterais iguais a 1, concluímos
limxto0sin(x)x=1

Resposta

limxto 0sin(x)x=1

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