Mostre que a seguinte setença é verdadeira:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo principal é cálculo de limite usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) aliado à desigualdade trigonométrica clássica
para
em
, e depois estender para o caso de
.
Passo 2
Para
em
podemos usar um argumento geométrico no círculo de raio 1 para obter
Esse resultado vem das áreas: triângulo inscrito embaixo do arco tem área
, o setor circular tem área
e o triângulo circunscrito acima do arco tem área
.
Passo 3
Da desigualdade
dividimos por
e multiplicamos por
, obtendo
Invertendo todos os termos (mantendo a ordem pois são positivos) dá
Passo 4
Ao fazermos
, sabemos que
logo pelo Teorema do Confronto
Como a função
é par (isto é,
), o limite pela esquerda coincide:
Passo 5
Com os limites laterais iguais a 1, concluímos