Calcule a integral colocando-a em coordenadas polares.
em que
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o semicírculo de raio
acima do eixo
. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, pois a integranda depende de
e a região é circular.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
com o jacobiano
. A região
corresponde a
e
(semicírculo acima do eixo
).
Passo 3
Substituindo na integral temos
Passo 4
Calcule primeiro a integral em
. Faça
, então
e
. Os limites vão de
a
:
Passo 5
Agora integre em
, que é imediato:
Multiplicando ambos resultados: