Calcule a integral colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A em que D é a região limitada pelo semicírculo y=raiz4-x^2 e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA
onde D é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, pois a integranda depende de x^2+y^2 e a região é circular.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com o jacobiano dA = r,dr,dtheta. A região D corresponde a 0<= r<= 2 e 0<= theta<= pi (semicírculo acima do eixo x).

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = integral0^piintegral0^2 e^-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calcule primeiro a integral em r. Faça u=r^2, então du=2r,dr e r,dr=tfrac12,du. Os limites vão de u(0)=0 a u(2)=4:
integral0^2 e^-r^2,r,dr = 12integral0^4 e^-u,du = 12l[-e^-ur]0^4 = 12l(1 - e^-4r)

Passo 5

Agora integre em theta, que é imediato:
integral0^pidtheta = pi
Multiplicando ambos resultados:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = pi ,times 12l(1 - e^-4r) = pi2l(1 - e^-4r)

Resposta

pi2l(1 - e^-4r)

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