Calcule a integral iterada.
integral1^2 integral0^y^2 e^xy^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
I = integral1^2!integral0^y^2 e^xy^2,dx,dy
O conteúdo aqui é o cálculo de integrais iteradas usando mudança de variável na integral interna e depois integração em y.

Passo 2

Para cada y fixo, calculamos a integral interna
integral0^y^2 e^xy^2,dx
Fazemos a substituição
t = xy^2, dx = y^2,dt,
quando x=0 temos t=0 e quando x=y^2 temos t=1. Logo,
integral0^y^2 e^xy^2,dx = integral0^1 e^t,(y^2,dt) = y^2integral0^1 e^t,dt = y^2(e - 1)

Passo 3

Substituindo esse resultado em I, obtemos
I = integral1^2 y^2(e - 1),dy = (e - 1)integral1^2 y^2,dy
Agora basta calcular
integral1^2 y^2,dy = [y^33]1^2 = 83 - 13 = 73

Passo 4

Portanto,
I = (e - 1)cdot73 = 73(e - 1)

Resposta

73(e - 1)

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