Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do paraboloide
e acima do plano
.
Acima do paraboloide
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
(plano
).
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, em que
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, em que
e a função altura é a diferença entre a superfície superior e a inferior:
Passo 2
Determinamos o domínio em polares impondo a interseção das duas superfícies:
Logo, o domínio
no plano é o disco
,
.
O volume é
O volume é
Passo 3
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 4
Agora integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.