Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do paraboloide z=18-2 x^2-2 y^2 e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
z = 18 - 2x^2 - 2y^2
e abaixo pelo plano z=0 (plano xy).
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, em que
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e a função altura é a diferença entre a superfície superior e a inferior:
ztopo - zfundo = (18 - 2r^2) - 0 = 18 - 2r^2

Passo 2

Determinamos o domínio em polares impondo a interseção das duas superfícies:
18 - 2r^2 = 0Longrightarrow r^2 = 9Longrightarrow r = 3
Logo, o domínio D no plano é o disco 0 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi.
O volume é
V = integral duplaD(18 - 2r^2),dA = integral0^2pi!integral0^3(18 - 2r^2),r,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^3(18r - 2r^3),dr = gl[;9r^2 - tfrac24r^4gr]0^3 = l(9cdot9 - tfrac12cdot81r) = 81 - tfrac812 = tfrac812

Passo 4

Agora integramos em theta:
V = integral0^2pitfrac812,dtheta = tfrac812l[,theta,r]0^2pi = tfrac812cdot 2pi = 81pi

Resposta

O volume do sólido é 81pi.

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