Usando uma substituição aproriada, resolva as seguintes equações diferenciais.
y^prime prime+(y^prime)^2+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' + (y')^2 + 1 = 0
usando uma substituição que reduza a ordem. O conteúdo é redução de ordem em ODEs e separação de variáveis para uma equação de primeira ordem.

Passo 2

Definimos
p = y',
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y'' = dpdx
Substituindo na ODE original, obtemos
dpdx + p^2 + 1 = 0

Passo 3

Reescrevemos a equação para separar as variáveis p e x:
dpdx = -l(p^2 + 1r) Longrightarrow dpp^2 + 1 = -,dx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral dpp^2 + 1 = integral -,dx Longrightarrow arctan(p) = -x + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 5

Isolamos p:
p = tanl(-x + C1r) = tanl(C1 - xr)
Lembrando que p = y', temos
y' = tanl(C1 - xr)

Passo 6

Agora integramos para encontrar y. Seja u = C1 - x, então du = -dx e
y = integral tan(u),(-du) = -integral tan(u),du = lnl|cos(u)r| + C2,
com C2 outra constante de integração. Voltando a x,
y(x) = lnl|cos(C1 - x)r| + C2

Resposta

y(x) = lnl|cos(C1 - x)r| + C2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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