Encontre a transformada de Laplace. f(t)=integral0^t e^tau(t-tau) d tau;

Passo 1

Nesse problema queremos achar a transformada de Laplace de (f(t)=\int_{0}{t}e{\tau}(t-\tau),d\tau. O conteúdo principal aqui é a propriedade de convolução para transformadas de Laplace.

Passo 2

Observamos que f(t) é a convolução de duas funções: g(t)=e^t e h(t)=t, pois por definição de convolução temos
f(t)=integral0^tg(tau),h(t-tau),dtau,

Passo 3

Pela propriedade de convolução, a transformada de Laplace satisfaz
Lg*h(s)=Lg(s)cdotLh(s) ou seja
F(s)=G(s);H(s) onde F, G, H são as transformadas de f, g, h respectivamente.

Passo 4

Calculamos G(s)=Le^t(s). Sabemos que
Le^t(s)=1s-1,, Re(s)>1 e também H(s)=Lt(s)=1s^2,, Re(s)>0.

Passo 5

Multiplicando as duas expressões obtemos
F(s)=G(s),H(s)=1s-1cdot1s^2=1s^2(s-1),

Passo 6

Se desejarmos podemos ainda decompor em frações parciais:
1s^2(s-1)=-1s+-1s^2+1s-1 mas não é estritamente necessário para a resposta.

Passo 7

Assim chegamos ao resultado final para a transformada de Laplace de f(t).

Resposta

F(s)=dfrac1s^2(s-1), s>1

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