Calcule
integral cos x ln (sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral cos x ,lnl(sin xr),dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Além disso, vamos usar que
ddxl[ln(sin x)r]=cot x.

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(sin xr), dv = cos x,dx
Então
du = cot x,dx, v = integral cos x,dx = sin x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral cos x,ln(sin x),dx = u,v - integral v,du = sin x,ln(sin x) - integral sin x;cot x,dx

Passo 4

Note que
sin x;cot x = sin x;cos xsin x = cos x,
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integral sin x;cot x,dx = integral cos x,dx = sin x
Substituindo de volta,
integral cos x,ln(sin x),dx = sin x,ln(sin x) - sin x + C

Resposta

sin x,ln(sin x) - sin x + C

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