Nos exercícios a seguir, encontre a série de Taylor de f(x) em torno do valor de a indicado e o raio de convergência associado.
f(x)=e^x ; a=3

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^x centrada em a=3 e o raio de convergência associado. Para isso lembramos que a fórmula geral da série de Taylor de uma função f em torno de a é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!,(x-a)^n
e que o raio de convergência R pode ser obtido pelo teste da razão.

Passo 2

Como toda derivada de e^x é e^x, temos para todo n>=0
f^(n)(x)=e^x Longrightarrow f^(n)(3)=e^3

Passo 3

Substituindo f^(n)(3)=e^3 na fórmula de Taylor, obtemos
e^x =sumn=0^inftye^3n!,(x-3)^n =e^3sumn=0^infty(x-3)^nn!

Passo 4

Aplicando o teste da razão para o termo geral an = e^3,(x-3)^n/n!, temos
L =limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x-3|n+1 =0<1 forall x,
logo o raio de convergência é
R = infty

Resposta

e^x = e^3 sumn=0^infty(x-3)^nn!, R = infty

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