Calcule
integral cossec x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida da função csc x, ou seja,
integral csc x , dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a técnica de multiplicar a integranda por uma expressão conveniente para surgir uma derivada exata (substituição).

Passo 2

Multiplicamos e dividimos a integranda por csc x + cot x, que é uma combinação cuja derivada aparece no numerador:
integral csc x , dx = integral csc x ,csc x + cot xcsc x + cot x,dx = integral csc^2 x + csc xcot xcsc x + cot x,dx

Passo 3

Observamos que o denominador é u = csc x + cot x. Calculando sua derivada:
dudx = -csc xcot x - csc^2 x = -l(csc^2 x + csc xcot xr)
Logo, o numerador é -du/dx.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral csc^2 x + csc xcot xcsc x + cot x,dx = integral -,dudxu,dx = -integral 1u,du = -lnl|ur| + C
Voltando a u=csc x+cot x, obtemos o resultado.

Resposta

integral csc x , dx = -lnl|csc x + cot xr| + C

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