Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^3 x^2x^2+x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^3 x^2x^2 + x - 6,dx
O conteúdo principal aqui é integração de função racional, que fazemos em duas etapas: primeiro dividimos polinômios (se o grau do numerador >= grau do denominador) e depois usamos frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador para identificar as raízes:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Passo 3

Como o grau do numerador é igual ao do denominador, fazemos a divisão de polinômios:
x^2x^2 + x - 6 = 1 ;+;x^2 - (x^2+x-6)x^2+x-6 = 1 ;+;-x + 6x^2 + x - 6
Logo
x^2x^2 + x - 6 = 1 + 6 - x(x + 3)(x - 2)

Passo 4

Agora decompomos 6 - x(x + 3)(x - 2) em frações parciais:
6 - x(x + 3)(x - 2) = Ax + 3 + Bx - 2
Temos
A(x - 2) + B(x + 3) = 6 - x
Comparando coeficientes:
A + B = -1, -2A + 3B = 6
Resolvendo:
B = 45, A = -1 - B = -95
Portanto
6 - x(x + 3)(x - 2) = -95,1x + 3 + 45,1x - 2

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral0^3 x^2x^2+x-6,dx = integral0^3 1,dx + integral0^3l(-tfrac951x+3 + tfrac451x-2r)dx
Isso dá
integral0^31,dx = [x]0^3 = 3,
-tfrac95integral0^3dxx+3 = -tfrac95l[ln|x+3|r]0^3,
tfrac45integral0^3dxx-2 = tfrac45l[ln|x-2|r]0^3

Passo 6

Calculando as diferenças:
l[ln|x+3|r]0^3 = ln(6) - ln(3) = ln2,
l[ln|x-2|r]0^3 = ln(1) - ln(2) = -ln2
Então
-tfrac95,ln2 ;+; tfrac45,(-ln2) = -tfrac95ln2 - tfrac45ln2 = -tfrac135ln2
Somando com o 3 que veio da primeira parte, obtemos
3 - 135ln2

Resposta

integral0^3 x^2x^2+x-6,dx = 3 ;-;135ln2

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