Sendo u e v vetores do R^3 tais que |u|=5, |v|=4 e |u+v|=raiz61, determine o ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem dois vetores u e v no espaço tridimensional ( R^3 ) com magnitudes conhecidas: |u| = 5 , |v| = 4 e a magnitude da soma deles |u + v| = raiz61 . A missão é descobrir qual é o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria aplicada aos vetores, especificamente a fórmula que relaciona os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a magnitude da soma de dois vetores:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2 |u| |v| cos(theta)
Onde:
  • |u + v| é a magnitude da soma dos vetores.
  • |u| e |v| são as magnitudes dos vetores u e v , respectivamente.
  • theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula:
(raiz61)^2 = 5^2 + 4^2 + 2 times 5 times 4 times cos(theta)
Calculando os quadrados:
61 = 25 + 16 + 40 cos(theta)

Passo 4

Agora, somamos 25 e 16:
61 = 41 + 40 cos(theta)
Vamos isolar cos(theta) :
61 - 41 = 40 cos(theta)
20 = 40 cos(theta)

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 40 para encontrar cos(theta) :
cos(theta) = 2040 = 12
Agora, para achar o ângulo theta , usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(12)

Resposta

O ângulo entre u e v é theta = 60^circ .

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