Calcule a integral.
(d) integral arctg(4 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de arctg(4 t) em relação a t. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes e entender como funciona a derivada da função arctangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da diferenciação. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser u e dv.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = arctg(4 t)
  • dv = dt
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du, vamos derivar u em relação a t:
du = ddt arctg(4 t) , dt
A derivada da arctangente é:
ddt arctg(x) = 11 + x^2
Aplicando isso:
du = 41 + (4 t)^2 , dt = 41 + 16 t^2 , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar dv para encontrar v:
v = integral dv = integral dt = t

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arctg(4 t) , dt = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= arctg(4 t) cdot t - integral t cdot 41 + 16 t^2 , dt

Passo 7

Simplificando a segunda integral:
integral 4 t1 + 16 t^2 , dt
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja w = 1 + 16 t^2, então:
dw = 32 t , dt implies t , dt = dw32

Passo 8

Substituindo na integral:
integral 4 tw , dt = integral 4w cdot dw32 = 432 integral 1w , dw = 18 ln|w| + C = 18 ln(1 + 16 t^2) + C

Passo 9

Voltando à expressão original:
integral arctg(4 t) , dt = arctg(4 t) cdot t - 18 ln(1 + 16 t^2) + C

Resposta

A integral de arctg(4 t) , dt é:
arctg(4 t) cdot t - 18 ln(1 + 16 t^2) + C

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