Calcule a integral.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes e entender como funciona a derivada da função arctangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da diferenciação. A fórmula é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
, vamos derivar
em relação a
:
A derivada da arctangente é:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Simplificando a segunda integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Voltando à expressão original:
Resposta
A integral de
é: