Calcule as seguintes integrais:
(k) integral ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, e para resolver vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que podemos dividir a nossa integral em duas partes, e , e depois aplicar essa fórmula para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos escolher e para a nossa integral .
  • Escolhemos porque a derivada de é mais simples.
  • Então, , que é fácil de integrar.

Passo 4

Vamos derivar du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx e integrar v = integral dx = x :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo integral ln x , dx = ln x cdot x - integral x cdot 1x , dx , , :

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral ln x , dx = x ln x - integral 1 , dx
A integral de 1 em relação a integral ln x , dx = x ln x - x + C é , então:

Resposta

integral ln x , dx = x ln x - x + C

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