Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Isso faz parte das Transformadas de Laplace, que são usadas para resolver equações diferenciais de forma mais simples. Para chegar na resposta, vamos usar a técnica de frações parciais e conhecer algumas transformadas inversas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso significa que vamos escrever como a soma de termos mais simples, cujas transformadas inversas conhecemos de cor. O denominador de é , então nossa ideia é separar cada fator para facilitar a inversão.
Passo 3
Vamos expressar como uma soma de frações parciais:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de em ambos os lados da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
De , temos .
De , substituindo :
De , substituindo e :
De , substituindo :
De , substituindo e :
Passo 6
Agora que temos os valores de , , , e , substituímos na decomposição inicial:
Simplificando:
Passo 7
Por fim, aplicamos a transformada inversa em cada termo separado:
Para o termo , completamos o quadrado no denominador:Então:Aplicando a transformada inversa: