Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintes funções: G(s) = 25 / (s^3 * (s^2 + 4s + 5))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Isso faz parte das Transformadas de Laplace, que são usadas para resolver equações diferenciais de forma mais simples. Para chegar na resposta, vamos usar a técnica de frações parciais e conhecer algumas transformadas inversas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso significa que vamos escrever como a soma de termos mais simples, cujas transformadas inversas conhecemos de cor. O denominador de é , então nossa ideia é separar cada fator para facilitar a inversão.

Passo 3

Vamos expressar como uma soma de frações parciais:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de em ambos os lados da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo :
  3. De , substituindo e :
  4. De , substituindo :
  5. De , substituindo e :

Passo 6

Agora que temos os valores de , , , e , substituímos na decomposição inicial:
Simplificando:

Passo 7

Por fim, aplicamos a transformada inversa em cada termo separado:
  1. Para o termo , completamos o quadrado no denominador: Então: Aplicando a transformada inversa:

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa de é:

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