Calcule a integral.
integral d uu raiz5-u

Passo 1

O enunciado dá a integral
integral duuraiz5-u.
O conteúdo principal é escolher uma substituição que elimine a raiz raiz5-u e depois usar a fórmula padrão
integral dxa^2 - x^2 = 12aln!|a + xa - x| + C

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raiz5-u
Então
t^2 = 5 - u, u = 5 - t^2, du = -2,t,dt

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral duuraiz5-u = integral -2t,dt(5 - t^2),t = -2 integral dt5 - t^2

Passo 4

Aplicando a fórmula com a = raiz5:
integral dt5 - t^2 = 12raiz5ln!|raiz5 + traiz5 - t| + C
Multiplicando por -2 resulta em
-2integral dt5 - t^2 = -1raiz5ln!|raiz5 + traiz5 - t| + C

Passo 5

Voltando à variável u usando t=raiz5-u, temos
integral duuraiz5-u = -1raiz5ln!|raiz5 + raiz5-uraiz5 - raiz5-u| + C
Reescrevendo o logaritmo, fica mais usual:
integral duuraiz5-u = 1raiz5ln!|raiz5 - raiz5-uraiz5 + raiz5-u| + C

Resposta

boxed integral duuraiz5-u = 1raiz5,ln!|raiz5 - raiz5-uraiz5 + raiz5-u| + C

Exercícios relacionados