Use substituição trigonométrica para mostrar que:
integral0^x raiza^2-t^2 d t=12 a^2 sen^-1(x / a)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por substituição trigonométrica, a integral definida
integral0^xraiza^2-t^2,dt,
supondo 0<= x<= a. O conteúdo é integração de raiz quadrática do tipo raiza^2-t^2, que tipicamente usamos a substituição t=asintheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = asintheta, dt = acostheta,dtheta,
e observamos que
raiza^2-t^2 =raiza^2-a^2sin^2theta =araiz1-sin^2theta =acostheta (costheta>=0)
Quando t=0 então sintheta=0Rightarrowtheta=0, e quando t=x então sintheta=x/aRightarrowtheta=arcsin(x/a).

Passo 3

Substituindo na integral,
integral0^xraiza^2-t^2,dt =integraltheta=0^theta=arcsin(x/a) l(acosthetar)l(acostheta,dthetar) =a^2integral0^arcsin(x/a)cos^2theta,dtheta
Usamos a identidade cos^2theta = tfrac12(1+cos2theta), daí
a^2integral0^arcsin(x/a)cos^2theta,dtheta =a^22integral0^arcsin(x/a)l(1+cos2thetar),dtheta

Passo 4

Integramos termo a termo:
a^22[ integral0^arcsin(x/a)1,dtheta ;+;integral0^arcsin(x/a)cos2theta,dtheta ] =a^22l[ theta + tfrac12sin2theta r]0^arcsin(x/a)
Note que sin2theta=2sinthetacostheta. Avaliando nos limites:
theta|0^arcsin(x/a) = arcsin!l(x/ar),
sin2theta|0^arcsin(x/a) =2sin!l(arcsin(x/a)r)cos!l(arcsin(x/a)r) =2xaraiz1-x^2a^2 =2xa,raiza^2-x^2a =2xraiza^2-x^2a^2

Passo 5

Substituindo na expressão anterior:
a^22l[ arcsin(x/a) +tfrac12cdot2xraiza^2-x^2a^2 r] =a^22,arcsin!l(x/ar) +a^22cdotxraiza^2-x^2a^2 =a^22,arcsin!l(x/ar) +x2raiza^2-x^2

Resposta

integral0^xraiza^2-t^2,dt =x2raiza^2-x^2 +a^22,arcsin!l(x/ar)

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