Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50 % do seu valor, se aplicado a 3,755 % ao mês?

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que um capital gere juros iguais a 50% do seu valor, aplicado a uma taxa de 3,755% ao mês. O conteúdo é juros compostos, cuja fórmula de montante após n meses é
A = C,(1+i)^n,
onde C é o capital inicial, i a taxa mensal (em decimal) e A o montante.

Passo 2

Os juros acumulados J são dados por
J = A - C
Queremos J = 0,5,C, isto é, o montante deve ser
A = C + 0,5,C = 1,5,C

Passo 3

Igualando à fórmula de montante:
C,(1+i)^n = 1,5,C
Cancelando C dos dois lados e substituindo i = 0,03755:
(1 + 0,03755)^n = 1,5

Passo 4

Para encontrar n, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
n ,lnl(1,03755r) = ln(1,5) Longrightarrow n = ln(1,5)ln(1,03755)

Passo 5

Calculando numericamente:
ln(1,5)approx0,405465, ln(1,03755)approx0,036848
n approx 0,4054650,036848approx 11,01
Logo, são necessários aproximadamente 11 meses.

Resposta

Em cerca de 11 meses o capital produz juros iguais a 50% do seu valor.

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