Calcule: integral d x(x+1) raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está no conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais racionais com raízes. Para resolver, vamos precisar usar substituição algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir . Assim, e . Isso ajuda a simplificar o denominador que tem .

Passo 3

Substituindo integral 2t , dt(t^2 + 1) t = integral 2 , dtt^2 + 1 e na integral original, temos:
Isso simplifica bastante a integral!

Passo 4

Agora, reconhecemos que integral dtt^2 + 1 = arctan(t) + C é a integral da função arco-tangente. Sabemos que:
integral 2 , dtt^2 + 1 = 2 arctan(t) + C
Então, aplicando isso à nossa integral:

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição 2 arctan(raizx) + C , vamos voltar para a variável original :

Resposta

A integral é igual a .

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