Encontre todos os vetores de norma igual a 5 que são ortogonais a u = (1, 1, 0) e v = (2, -1, 3).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os vetores que têm norma igual a 5 e que são ortogonais aos vetores e . Basicamente, vamos trabalhar com geometria vetorial, focando em norma e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que são perpendiculares a outros vetores e que também têm um tamanho específico (neste caso, 5).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores e é calculado assim:
Então, para um vetor ser ortogonal a u e v, precisamos que:

Passo 3

Agora, para encontrar todos os vetores w que são ortogonais a u e v, vamos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores fornece um vetor que é ortogonal a ambos. Então, vamos calcular u x v.
Calculando o produto vetorial:
Então,

Passo 4

Agora que temos o vetor , sabemos que todos os vetores ortogonais a u e v são múltiplos desse vetor. Ou seja, qualquer vetor w buscado pode ser escrito como:
Onde k é um número real qualquer.

Passo 5

Além disso, sabemos que a norma de w deve ser igual a 5. A norma de um vetor é dada por:
Substituindo :
Queremos que essa norma seja igual a 5:
Então, .

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições do exercício são:
Simplificando:
Portanto, os vetores de norma igual a 5 que são ortogonais a u e v são:

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