Calcule a integral dada
integral0^2 pi integral0^2 integral0^4-r^2 r d z d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^2pi integral0^2 integral0^4-r^2 r , dz , dr , dtheta
Essa integral representa, em coordenadas cilíndricas, o volume do sólido definido por 0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi e 0 <= z <= 4 - r^2.

Passo 2

Calculamos primeiro a integral interna em z, tratando r como constante:
integral0^4-r^2 r , dz = r , l[zr]0^4-r^2 = r , (4 - r^2)

Passo 3

Em seguida, integramos em r:
integral0^2 r , (4 - r^2) , dr = integral0^2 (4r - r^3) , dr = [2r^2 - r^44]0^2 = 2cdot 4 - 164 = 8 - 4 = 4

Passo 4

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 4 , dtheta = 4theta l|0^2pi = 8pi

Resposta

8pi

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