Calcule os limites:
(t) lim x 0^+(ln (x+1))^x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+(ln(1+x))^x
Aqui temos uma forma potencialmente do tipo 0^0, pois ln(1+x)to0 e xto0. Para resolver, vamos usar a reescrita em função de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Defina
L = limxto0^+(ln(1+x))^x
Como a^b = e^bln a, escrevemos
L = limxto0^+ e^,xln(ln(1+x)) = expl(limxto0^+ xln(ln(1+x))r)
Agora basta achar o limite
limxto0^+ xln(ln(1+x))

Passo 3

Para avaliar ln(1+x) quando x é pequeno usamos a expansão
ln(1+x) = x - tfracx^22 + O(x^3)
Logo
ln(ln(1+x)) = ln!l(x - tfracx^22 + O(x^3)r) = ln x + lnl(1 - tfracx2 + O(x^2)r) = ln x - tfracx2 + O(x^2)
Multiplicando por x temos
xln(ln(1+x)) = xln x - tfracx^22 + O(x^3)
Sabemos que limxto0^+xln x = 0 e limxto0^+x^2=0, logo
limxto0^+ xln(ln(1+x)) = 0

Passo 4

Substituindo no exponencial, obtemos
L = expl(0r) = 1

Resposta

1

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