Calcule a integral dada
integral1^3 integral0^pi / 2 integralr^3 r d z d theta d r

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
integral1^3integral0^pi/2integralr^3r,dz,dtheta,dr
Esse é um cálculo de integral iterada em coordenadas cilíndricas; vamos integrar em z primeiro (considerando r e theta constantes), depois em theta e finalmente em r.

Passo 2

Ao integrar em z ficamos com
integralr^3r,dz = r(3 - r)
Assim a integral reduz-se a
integral1^3integral0^pi/2r(3 - r),dtheta,dr
Como o integrando não depende de theta, a integração em theta de 0 a pi/2 apenas multiplica por pi/2, gerando
pi2integral1^3r(3 - r),dr

Passo 3

Restou calcular
pi2integral1^3(3r - r^2),dr
Temos
integral1^3(3r - r^2),dr = [32r^2 - 13r^3]1^3 = l(272 - 9r) - l(32 - 13r) = 92 - 76 = 103
Multiplicando por pi/2 obtemos
pi2cdot103 = 5pi3

Resposta

5pi3

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