Use as propriedades de simetria e calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa calcular a integral definida de
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve propriedades de simetria em funções e como elas podem facilitar o cálculo de integrais, especialmente quando os limites de integração são simétricos em torno de zero. Para resolver isso, vamos precisar identificar se as funções dentro da integral são ímpares ou pares, e usar essa informação para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são funções pares e ímpares. Uma função
é par se
para todo
, e é ímpar se
. Isso é importante porque integrais de funções ímpares em intervalos simétricos em torno de zero são zero, e funções pares têm a propriedade de que
.
Passo 3
Vamos identificar se cada termo da função
é par ou ímpar:
-
: é par porque . -
: é par porque . -
: é uma constante, também considerada uma função par.
Como todos os termos são pares, a função inteira
é par.
Passo 4
Como a função é par e os limites de integração são de
a
, podemos simplificar a integral usando a propriedade das funções pares:
Isso facilita nosso cálculo porque agora só precisamos calcular a integral de
a
e multiplicar por
.
Passo 5
Vamos calcular a integral de
a
de
:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Passo 6
Vamos somar os valores obtidos:
Passo 7
Lembrando que multiplicamos por
devido à simetria da função, temos:
Resposta
A integral
é igual a
.