Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
(b)
, onde
é a região à esquerda do eixo
e entre as circunferências
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. A região
é a parte à esquerda do eixo
e entre as circunferências
e
. Hoje, vamos usar coordenadas polares para facilitar a conta. Precisamos converter tudo para polares e entender os limites dessa região.
Passo 2
Primeiro, lembrando que em coordenadas polares, temos:
E a área diferencial
vira
. Além disso,
, o que simplifica a nossa integral.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. A região
está entre as circunferências de raio 1 e 2 (já que
e
). Então,
varia de 1 a 2. Para a parte à esquerda do eixo
, o ângulo
varia de
a
.
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral. Ficamos com:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Temos:
Fazendo uma substituição simples: deixando
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa em relação a
. Como a expressão não depende de
, é só multiplicar pelo intervalo de
:
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais internas e externas:
Resposta
A integral vale
.