Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
(b) integral duplaR cos (x^2+y^2) d A, onde R é a região à esquerda do eixo y e entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaR cos (x^2+y^2) d A. A região R é a parte à esquerda do eixo y e entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Hoje, vamos usar coordenadas polares para facilitar a conta. Precisamos converter tudo para polares e entender os limites dessa região.

Passo 2

Primeiro, lembrando que em coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
E a área diferencial dA vira r , dr , dtheta. Além disso, x^2+y^2 = r^2, o que simplifica a nossa integral.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. A região R está entre as circunferências de raio 1 e 2 (já que 1^2=1 e 2^2=4). Então, r varia de 1 a 2. Para a parte à esquerda do eixo y, o ângulo theta varia de pi2 a 3pi2.

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral. Ficamos com:
integralpi2^3pi2 integral1^2 cos(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r. Temos:
integral1^2 r cos(r^2) , dr
Fazendo uma substituição simples: deixando u = r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2. A integral fica:
12 integral1^4 cos(u) , du = 12 [sin(u)]1^4 = 12 (sin(4) - sin(1))

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a theta. Como a expressão não depende de theta, é só multiplicar pelo intervalo de theta:
integralpi2^3pi2 dtheta = 3pi2 - pi2 = pi

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais internas e externas:
pi cdot 12 (sin(4) - sin(1)) = pi2 (sin(4) - sin(1))

Resposta

A integral vale pi2 ( sin(4) - sin(1) ).

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