O volume
abaixo do paraboloide hiperbólico
e acima de uma região
no plano
é dada por
Esboce a região
do plano
, expresse
como uma integral dupla na qual a ordem de integração é invertida e calcule
.
Passo 1
O enunciado pede o volume abaixo do paraboloide hiperbólico
sobre uma região
no plano
que é descrita por
Vamos (1) esboçar
, (2) inverter a ordem de integração para escrever
com
, e (3) calcular o valor de
.
Passo 2
Para esboçar
olhamos as fronteiras:
- de
a , vai de até (linha ); - de
a , vai de até (linha ).
Isso forma um triângulo com vértices, e , limitado pelas retas , e .
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Observamos que
varia de
até
. Para cada
fixo,
parte da reta inferior
até a reta superior
. Logo
Passo 4
Escrevemos então o volume como
Passo 5
Calculamos a integral:
Então