O volume V abaixo do paraboloide hiperbólico z=x y e acima de uma região R no plano x y é dada por
V=integral0^1 integral0^y x y d x d y+integral1^2 integral0^2-y x y d x d y
Esboce a região R do plano x y, expresse V como uma integral dupla na qual a ordem de integração é invertida e calcule V.

Passo 1

O enunciado pede o volume abaixo do paraboloide hiperbólico z=xy sobre uma região R no plano xy que é descrita por
0<= y<=1,;0<= x<= y e 1<= y<=2,;0<= x<=2-y
Vamos (1) esboçar R, (2) inverter a ordem de integração para escrever
V=integral duplaRxy,dA com dy,dx, e (3) calcular o valor de V.

Passo 2

Para esboçar R olhamos as fronteiras:
  • de y=0 a y=1, x vai de 0 até y (linha x=y);
  • de y=1 a y=2, x vai de 0 até 2-y (linha x+y=2).
    Isso forma um triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (0,2), limitado pelas retas x=0, y=x e x+y=2.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x. Observamos que x varia de 0 até 1. Para cada x fixo, y parte da reta inferior y=x até a reta superior y=2-x. Logo
0<= x<=1, x<= y<=2-x

Passo 4

Escrevemos então o volume como
V=integralx=0^1integraly=x^2-xx,y;dy;dx

Passo 5

Calculamos a integral:
integraly=x^2-xy,dy =l[tfrac12,y^2r]y=x^2-x =tfrac12l((2-x)^2 - x^2r) =tfrac12l(4-4xr) =2-2x
Então
V =integral0^1x,(2-2x);dx =integral0^1(2x-2x^2);dx =l[x^2-tfrac23x^3r]0^1 =1-tfrac23 =tfrac13

Resposta

V=tfrac13

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