Pesquisadores de Harvard desenvolveram um sistema de frenagem em que a força que o sistema de frenagem aplica é proporcional a velocidade e o tempo decorrido de ativação do freio. Tal cenário pode ser modelado pela EDO
Encontre uma solução geral para esta equação diferencial. Se a velocidade inicial do objeto é
qual a solução particular? Qual a velocidade do objeto após meio segundo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de frenagem onde a força aplicada depende da velocidade e do tempo. Isso é modelado pela equação diferencial:
Aqui,
representa a velocidade do objeto em função do tempo
. Para resolver esse problema, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente soluções de equações lineares de primeira ordem. Precisamos encontrar a solução geral da EDO, depois ajustar com a condição inicial para achar a solução particular e, por fim, calcular a velocidade após meio segundo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais clara:
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma:
Onde aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
, temos a solução geral:
Passo 7
Agora, vamos achar a solução particular usando a condição inicial. Sabemos que a velocidade inicial
m/s. Substituindo na solução geral:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, queremos saber qual é a velocidade do objeto após meio segundo, ou seja, quando
s. Substituindo na solução particular:
Calculando
:
Então:
Resposta
A velocidade do objeto após meio segundo é aproximadamente
.