Pesquisadores de Harvard desenvolveram um sistema de frenagem em que a força que o sistema de frenagem aplica é proporcional a velocidade e o tempo decorrido de ativação do freio. Tal cenário pode ser modelado pela EDO
d yd t=-4 t y
Encontre uma solução geral para esta equação diferencial. Se a velocidade inicial do objeto é 10 m / s qual a solução particular? Qual a velocidade do objeto após meio segundo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de frenagem onde a força aplicada depende da velocidade e do tempo. Isso é modelado pela equação diferencial:
d yd t = -4 t y
Aqui, y representa a velocidade do objeto em função do tempo t . Para resolver esse problema, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente soluções de equações lineares de primeira ordem. Precisamos encontrar a solução geral da EDO, depois ajustar com a condição inicial para achar a solução particular e, por fim, calcular a velocidade após meio segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais clara:
d yd t + 4 t y = 0
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma:
d yd t + P(t) y = Q(t)
Onde aqui, P(t) = 4t e Q(t) = 0 .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 4 t dt = e^2 t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
e^2 t^2 cdot d yd t + e^2 t^2 cdot 4 t y = 0
Isso simplifica para:
dd t ( e^2 t^2 y ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação ao tempo t :
e^2 t^2 y = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y , temos a solução geral:
y(t) = C cdot e^-2 t^2

Passo 7

Agora, vamos achar a solução particular usando a condição inicial. Sabemos que a velocidade inicial y(0) = 10 m/s. Substituindo na solução geral:
10 = C cdot e^-2 (0)^2 Rightarrow 10 = C cdot e^0 Rightarrow C = 10
Portanto, a solução particular é:
y(t) = 10 cdot e^-2 t^2

Passo 8

Finalmente, queremos saber qual é a velocidade do objeto após meio segundo, ou seja, quando t = 0.5 s. Substituindo na solução particular:
y(0.5) = 10 cdot e^-2 (0.5)^2 = 10 cdot e^-2 cdot 0.25 = 10 cdot e^-0.5
Calculando e^-0.5 :
e^-0.5 approx 0.6065
Então:
y(0.5) approx 10 cdot 0.6065 = 6.065 , m/s

Resposta

A velocidade do objeto após meio segundo é aproximadamente 6.065 , m/s .

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