\rightarrow Ex. 1: Calcule \iiint_{B} \frac{\operatorname{sen}(x+y-z)}{x+2 y+z} d V, B é o porolelepipedo 1 \leqslant x+2 y+z \leqslant 2,0 \leqslant x+y-z \leqslant \pi / 4,0 \leqslant z \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B}\frac{\sin(x+y-z)}{x+2y+z}\,dV
sobre o paralelepípedo definido por
1 \le x+2y+z \le 2,\quad 0 \le x+y-z \le \frac{\pi}{4},\quad 0 \le z \le 1.
O conteúdo principal aqui é usar mudança de variáveis lineares para simplificar a região e o integrando, aplicando o Jacobiano.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variáveis
u = x+2y+z,\quad v = x+y-z,\quad w = z.
Precisamos então expressar x,y,z em função de u,v,w e calcular o Jacobiano.

Passo 3

Resolvendo o sistema: w = z; v = x+y-w implica x+y = v+w; u = x+2y+w.
Isolando y e x, obtemos
y = u - v - 2w, \quad x = v+w - y = 2v +3w - u, \quad z = w.

Passo 4

O Jacobiano é
J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\\ \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} = -1,
logo \lvert J\rvert = 1 e dV = du\,dv\,dw.

Passo 5

Em termos de (u,v,w), o integrando fica
\frac{\sin(x+y-z)}{x+2y+z} = \frac{\sin(v)}{u},
e a região B mapeia para
1 \le u \le 2,\quad 0 \le v \le \frac{\pi}{4},\quad 0 \le w \le 1.
Assim a integral separa-se em
\int_{w=0}^{1}\!dw\, \int_{v=0}^{\pi/4}\sin(v)\,dv\, \int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\,du.

Passo 6

Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}dw = 1, \quad \int_{0}^{\pi/4}\sin(v)\,dv = -\cos(v)\Big\vert_{0}^{\pi/4} = 1 - \frac{\sqrt2}{2},
\int_{1}^{2}\frac{du}{u} = \ln(u)\Big\vert_{1}^{2} = \ln2.
Multiplicando tudo, obtemos
\ln2\Bigl(1 - \frac{\sqrt2}{2}\Bigr).

Resposta

\iiint_{B}\frac{\sin(x+y-z)}{x+2y+z}\,dV = \ln2\Bigl(1 - \frac{\sqrt2}{2}\Bigr).

Exercícios relacionados