Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^33 d x d y, onde D é a região do primeiro quadrante contida pelo círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de 1(1+x^2+y^2) sobre a região D, que é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo x^2+y^2=16. Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa integração. Para isso, precisamos saber como converter a função e a região de integração para o sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) é representado como (rcostheta, rsintheta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x. Além disso, o elemento de área dx,dy em coordenadas cartesianas se transforma em r,dr,dtheta.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função e os limites da integral em coordenadas polares. A função original é 11+x^2+y^2. Em coordenadas polares, isso fica 11+r^2. A região D é o primeiro quadrante do círculo x^2+y^2=16, então r varia de 0 a 4 (a raiz de 16) e theta varia de 0 a pi2 (90 graus).
A integral em coordenadas polares fica então:
integral0^pi2 integral0^4 11+r^2 cdot r,dr,dtheta

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^4 r1+r^2,dr
Fazendo a substituição u = 1 + r^2, temos du = 2r,dr, ou seja, r,dr = du2. A integral fica:
12 integral1^17 1u,du = 12 ln|u| |1^17 = 12 (ln17 - ln1) = 12 ln17
Agora, fazemos a integral em relação a theta:
integral0^pi2 12 ln17,dtheta = 12 ln17 cdot (pi2 - 0) = pi4 ln17

Resposta

A integral vale pi4 ln17.

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