Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares. , onde é a região do primeiro quadrante contida pelo círculo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de sobre a região , que é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo . Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa integração. Para isso, precisamos saber como converter a função e a região de integração para o sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado como , onde é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo positivo x. Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função e os limites da integral em coordenadas polares. A função original é . Em coordenadas polares, isso fica . A região é o primeiro quadrante do círculo , então varia de a (a raiz de 16) e varia de a (90 graus).
A integral em coordenadas polares fica então:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral fica: