Suponha que f seja uma função contínua definida sobre um retângulo R=[a, b] times[c, d].
© Como calcular integral duplaR f(x, y) d A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente descobrir como calcular a integral dupla onde é uma função contínua definida sobre um retângulo . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas, e vamos precisar entender como dividir essa área em partes menores para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que você quer somar todos os valores de em cada ponto dentro do retângulo . A integral dupla faz exatamente isso, mas de uma forma matemática. Para calcular essa soma contínua, quebramos o retângulo em pequenos retângulos menores e somamos as contribuições de cada um desses pequenos retângulos.

Passo 3

Agora, como vamos fazer essa soma de forma organizada? A gente usa integrais iteradas, que são duas integrais uma dentro da outra. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável (digamos, ) e depois em relação à outra ( ), ou vice-versa. Isso facilita porque transforma a integral dupla em duas integrais simples.

Passo 4

Vamos escolher integrar primeiro em relação a integral duplaR f(x, y) , d A = integralc^d ( integrala^b f(x, y) , dx ) dy e depois em relação a . Assim, a integral dupla fica assim:
Aqui, calcula a área sob a curva para um valor fixo de , e depois soma essas áreas para todos os valores de no intervalo .

Passo 5

Alternativamente, podemos integrar primeiro em relação a integral duplaR f(x, y) , d A = integrala^b ( integralc^d f(x, y) , dy ) dx e depois em relação a . A integral dupla fica:
Isso faz o mesmo processo, mas começando pela direção . A escolha de qual ordem usar pode depender da função e do que facilita o cálculo.

Resposta

Para calcular integral duplaR f(x, y) , d A = integralc^d ( integrala^b f(x, y) , dx ) dy ou integrala^b ( integralc^d f(x, y) , dy ) dx sobre o retângulo , utilizamos integrais iteradas da seguinte forma:

Exercícios relacionados