Suponha que
seja uma função contínua definida sobre um retângulo
.
© Como calcular
?
© Como calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente descobrir como calcular a integral dupla
onde
é uma função contínua definida sobre um retângulo
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas, e vamos precisar entender como dividir essa área em partes menores para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que você quer somar todos os valores de
em cada ponto dentro do retângulo
. A integral dupla faz exatamente isso, mas de uma forma matemática. Para calcular essa soma contínua, quebramos o retângulo em pequenos retângulos menores e somamos as contribuições de cada um desses pequenos retângulos.
Passo 3
Agora, como vamos fazer essa soma de forma organizada? A gente usa integrais iteradas, que são duas integrais uma dentro da outra. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável (digamos,
) e depois em relação à outra (
), ou vice-versa. Isso facilita porque transforma a integral dupla em duas integrais simples.
Passo 4
Vamos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, a integral dupla fica assim:
Aqui,
calcula a área sob a curva
para um valor fixo de
, e depois
soma essas áreas para todos os valores de
no intervalo
.
Passo 5
Alternativamente, podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A integral dupla fica:
Isso faz o mesmo processo, mas começando pela direção
. A escolha de qual ordem usar pode depender da função
e do que facilita o cálculo.
Resposta
Para calcular
sobre o retângulo
, utilizamos integrais iteradas da seguinte forma: