(a) Como você define
se
é uma região limitada que não é retangular?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber como definir a integral dupla
quando a região
não é retangular. Vamos trabalhar com o conceito de integrais duplas e como aplicá-las em regiões gerais, usando mudanças de variáveis e limites apropriados.
Passo 2
Para definir a integral dupla em uma região
que não é retangular, precisamos dividir a região em pequenas partes onde podemos aproximar a integral. Isso geralmente é feito dividindo
em sub-regiões menores, como retângulos infinitesimais, e somando as contribuições de cada uma.
Passo 3
Vamos considerar que a região
pode ser descrita por limites de
e
. Por exemplo, podemos escrever
variando de
a
e, para cada
,
varia de uma função inferior
a uma função superior
. Isso nos permite expressar a integral dupla como um iterado.
Passo 4
A integral dupla então fica:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
.
Passo 5
Esse método é útil porque transforma a integral dupla em duas integrais simples, facilitando o cálculo mesmo quando a região
tem uma forma complicada. É importante definir corretamente as funções
e
que delimitam a região para garantir que cobramos toda a área de
sem sobreposições ou faltas.
Resposta
A integral dupla
sobre uma região limitada
que não é retangular é definida como:
onde
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
.