(a) Como você define integral duplaR f(x, y) d A se D é uma região limitada que não é retangular?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber como definir a integral dupla integral duplaR f(x, y) d A quando a região R não é retangular. Vamos trabalhar com o conceito de integrais duplas e como aplicá-las em regiões gerais, usando mudanças de variáveis e limites apropriados.

Passo 2

Para definir a integral dupla em uma região R que não é retangular, precisamos dividir a região em pequenas partes onde podemos aproximar a integral. Isso geralmente é feito dividindo R em sub-regiões menores, como retângulos infinitesimais, e somando as contribuições de cada uma.

Passo 3

Vamos considerar que a região R pode ser descrita por limites de x e y. Por exemplo, podemos escrever x variando de a a b e, para cada x, y varia de uma função inferior g1(x) a uma função superior g2(x). Isso nos permite expressar a integral dupla como um iterado.

Passo 4

A integral dupla então fica:
integral duplaR f(x, y) d A = integrala^b ( integralg1(x)^g2(x) f(x, y) d y ) d x
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a y de g1(x) a g2(x), e depois em relação a x de a a b.

Passo 5

Esse método é útil porque transforma a integral dupla em duas integrais simples, facilitando o cálculo mesmo quando a região R tem uma forma complicada. É importante definir corretamente as funções g1(x) e g2(x) que delimitam a região para garantir que cobramos toda a área de R sem sobreposições ou faltas.

Resposta

A integral dupla integral duplaR f(x, y) d A sobre uma região limitada R que não é retangular é definida como:
integral duplaR f(x, y) d A = integrala^b ( integralg1(x)^g2(x) f(x, y) d y ) d x
onde x varia de a a b e, para cada x, y varia de g1(x) a g2(x).

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