Calcule a integral dupla:
integral duplaD(y^2-x) d y d x, D é limitada por x=y^2 e x=3-2 y^2.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular uma integral dupla: . A região está limitada pelas curvas e . Vamos usar cálculo integral para resolver isso, e pra isso precisamos entender bem como essas curvas se comportam e onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver . Bora lá!

Passo 3

Resolvendo a equação y^2 + 2y^2 = 3 Rightarrow 3y^2 = 3 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1 :
Então, as curvas se cruzam quando e .

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos desenhar a região . Para cada valor de entre e , varia de até . Isso define bem os limites de integração.

Passo 5

Com os limites definidos, vamos montar a integral dupla. Ficará assim:
integraly=-1^1 integralx=y^2^3-2y^2 (y^2 - x) , dx , dy
Decidimos integrar primeiro em e depois em .

Passo 6

Vamos integrar a função integral (y^2 - x) , dx = y^2x - 12x^2 |x=y^2^3-2y^2 em relação a y^2(3 - 2y^2) - 12(3 - 2y^2)^2 - (y^2(y^2) - 12(y^2)^2) :
9y^2 - 92 - 92y^4
Substituindo os limites:
Simplificando isso, chegamos em:

Passo 7

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a 2 ( integral0^1 9y^2 - 92 - 92y^4 , dy ) = 2 ( 3y^3 - 92y - 910y^5 |0^1 ) = -245 de a . Como a função é par, podemos multiplicar a integral de a por :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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