Calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1 integralx^2^1 x^3 sen(y^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla trocando a ordem de integração. O enunciado é:
integral0^1 integralx^2^1 x^3 sin(y^3) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, especificamente sobre uma região no plano . Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O limite interno é variando de até , e o limite externo é de a . Isso significa que para cada entre e , começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar x = raizy em termos de . Observando , podemos resolver para :
Então, para cada entre e , varia de a .

Passo 4

Com a nova ordem de integração, a integral fica:
integral0^1 integral0^raizy x^3 sin(y^3) , dx , dy
Agora, integrar em relação a primeiro.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna:
integral0^raizy x^3 sin(y^3) , dx
Como sin(y^3) integral0^raizy x^3 , dx é constante em relação a integral x^3 , dx = x^44 , podemos tirar do integral:
sin(y^3) [ (raizy)^44 - 0 ] = sin(y^3) ( y^24 )
Integrando :
Aplicando os limites:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 y^24 sin(y^3) , dy
Podemos fatorar 14 integral0^1 y^2 sin(y^3) , dy :

Passo 7

Para resolver u = y^3 Rightarrow du = 3y^2 dy Rightarrow du3 = y^2 dy , usamos substituição:
14 cdot 13 integral0^1 sin(u) , du = 112 [ -cos(u) ]0^1
Substituindo:

Passo 8

Aplicando os limites:
112 ( -cos(1) + cos(0) ) = 112 ( 1 - cos(1) )

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados