Calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla trocando a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, especificamente sobre uma região no plano
. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O limite interno é
variando de
até
, e o limite externo é
de
a
. Isso significa que para cada
entre
e
,
começa em
e vai até
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar
em termos de
. Observando
, podemos resolver para
:
Então, para cada
entre
e
,
varia de
a
.
Passo 4
Com a nova ordem de integração, a integral fica:
Agora, integrar em relação a
primeiro.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar do integral:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Para resolver
, usamos substituição:
Substituindo:
Passo 8
Aplicando os limites:
Resposta
A integral vale
.