Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares. ; onde
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região , que é definida por e . Isso significa que estamos trabalhando com uma parte de um círculo de raio 2, apenas no lado direito do eixo . Para resolver isso de um jeito mais fácil, vamos trocar para coordenadas polares, que são perfeitas para regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cartesianas em coordenadas polares :
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Além disso, na integral que a gente tem, temos . Em coordenadas polares, isso vira:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A região é onde e . Em coordenadas polares, isso significa que varia de 0 a 2 (porque implica ) e varia de a para cobrir apenas o lado direito do círculo onde .
Então, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
A antiderivada de é , então avaliando de 0 a 2:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a theta: