Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR(x^2+y^2)^2 d A; onde R=(x, y) ; x^2+y^2 <= 4 ; x>0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região R, que é definida por x^2+y^2 <= 4 e x > 0. Isso significa que estamos trabalhando com uma parte de um círculo de raio 2, apenas no lado direito do eixo y. Para resolver isso de um jeito mais fácil, vamos trocar para coordenadas polares, que são perfeitas para regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, theta):
x = r cos theta y = r sin theta
E a área diferencial em coordenadas polares é:
dA = r , dr , dtheta
Além disso, na integral que a gente tem, temos (x^2 + y^2)^2. Em coordenadas polares, isso vira:
(x^2 + y^2)^2 = (r^2)^2 = r^4

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A região R é onde x^2 + y^2 <= 4 e x > 0. Em coordenadas polares, isso significa que r varia de 0 a 2 (porque r^2 <= 4 implica r <= 2) e theta varia de -pi2 a pi2 para cobrir apenas o lado direito do círculo onde x > 0.
Então, a integral fica:
integral duplaR (x^2 + y^2)^2 , dA = integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2 r^4 cdot r , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral-pi2^pi2 integral0^2 r^5 , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^2 r^5 , dr
A antiderivada de r^5 é r^66, então avaliando de 0 a 2:
r^66 |0^2 = 2^66 - 0^66 = 646 = 323

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a theta:
integral-pi2^pi2 323 , dtheta
Como 323 é uma constante, a integral fica:
323 cdot ( pi2 - (-pi2) ) = 323 cdot pi

Resposta

A integral calculada é igual a dfrac32,pi3.

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