Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função f(t, y) é dita homogênea de grau n se
f(lambda t, lambda y) = lambda^n f(t, y) , n em R
Definição: Uma equação diferencial da forma
M(t, y) dt + N(t, y) dy = 0
é dita uma equação diferencial homogênea se M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
y = t x dy = t dx + x dt
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis t e x ), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo y à solução obtida (retirando-se x da resposta).
2 t y y' - t^2 = y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a equação diferencial
Nosso objetivo é verificar se ela é homogênea e, se for, encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar os conceitos de funções homogêneas e equações diferenciais homogêneas que foram definidos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais clara:
Isso nos ajuda a identificar as partes e da equação diferencial na forma .

Passo 3

Identificando e :
Agora, precisamos verificar se e são funções homogêneas do mesmo grau.

Passo 4

Vamos verificar a homogeneidade de :
Multiplicando e por :
Então, é homogênea de grau 2.

Passo 5

Agora, vamos verificar a homogeneidade de :
Multiplicando e por :
Então, também é homogênea de grau 2.

Passo 6

Como e são funções homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea. Agora, vamos usar a substituição , onde é uma função de .

Passo 7

Com a substituição , temos:
Substituindo e na equação original:

Passo 8

Simplificando a equação:
Distribuindo:

Passo 9

Subtraindo de ambos os lados:
Podemos dividir toda a equação por :

Passo 10

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Agora, temos uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis e :

Passo 12

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
Let , então , então:
A integral do lado direito:

Passo 13

Igualando as integrais:
Podemos reescrever:
Exponentiando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 14

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 15

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante arbitrária.

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