Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função
é dita homogênea de grau
se
Definição: Uma equação diferencial da forma
é dita uma equação diferencial homogênea se
e
são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis
e
), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo
à solução obtida (retirando-se
da resposta).
Definição: Uma função
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a equação diferencial
Nosso objetivo é verificar se ela é homogênea e, se for, encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar os conceitos de funções homogêneas e equações diferenciais homogêneas que foram definidos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais clara:
Isso nos ajuda a identificar as partes
e
da equação diferencial na forma
.
Passo 3
Identificando
e
:
Agora, precisamos verificar se
e
são funções homogêneas do mesmo grau.
Passo 4
Vamos verificar a homogeneidade de
:
Multiplicando e
por
:
Multiplicando
Então,
é homogênea de grau 2.
Passo 5
Agora, vamos verificar a homogeneidade de
:
Multiplicando e
por
:
Multiplicando
Então,
também é homogênea de grau 2.
Passo 6
Como
e
são funções homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea. Agora, vamos usar a substituição
, onde
é uma função de
.
Passo 7
Com a substituição
, temos:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 8
Simplificando a equação:
Distribuindo:
Passo 9
Subtraindo
de ambos os lados:
Podemos dividir toda a equação por
:
Passo 10
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Agora, temos uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 12
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
Let , então
, então:
Let
A integral do lado direito:
Passo 13
Igualando as integrais:
Podemos reescrever:
Exponentiando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 14
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 15
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.